Bewertung von Finanzderivaten

Die effiziente und genaue Bewertung von Finanzderivaten, beispielsweise von Optionen, ist eine der Hauptaufgaben der numerischen Finanzmathematik. Hierbei wird der faire Preis eines Derivates ausgehend von der Auszahlungsstruktur des konkreten Finanzprodukts und einem geeigneten stochastischen Modell ermittelt. Das resultierende Problem ist dann entweder ein Erwartungswert (in der Regel ein mehrdimensionales Integral) oder eine partiellen (Integro-) Differentialgleichung. In den meisten Fällen existieren für deren Lösungen jedoch keine geschlossenen Darstellungen und aufgrund dessen muss auf numerische Verfahren zu ihrer Berechnung zurückgegriffen werden.

Aktuelle Herausforderungen hierbei sind immer komplexer werdende Finanzprodukte, beispielsweise zusammengesetzte oder Multi-Asset-Optionen, sowie immer ausgefeiltere Finanzmarktmodelle, beispielsweise Sprung-Diffusions-Modelle.

In diesem Projekt entwickeln wir effiziente und robuste numerische Verfahren und realisieren diese auf parallelen Hochleistungs-Rechensystemen. Hierbei kommen moderne finanznumerische Methoden, wie Multilevel-Monte-Carlo- und Quasi-Monte-Carlo-Simulation, dimensionsadaptive Dünngitter-Quadratur und multivariate Binomialbaumverfahren zum Einsatz. Diese neuen Verfahren erlauben Berechnungen mit hoher Genauigkeit bei gleichzeitiger substanzieller Reduktion der Rechenzeiten.

1. T. Gerstner and M. Griebel:
   Sparse grids.
   In Encyclopedia of Quantitative Finance, J. Wiley & Sons, 2009.

2. T. Gerstner and M. Holtz:
   Valuation of performance-dependent options.
   Applied Mathematical Finance, 15(1):1-20, 2008.

3. T. Gerstner and M. Holtz:
   Geometric tools for the valuation of performance-dependent options.
   In Computational Finance and its Application II, pp. 161-170, WIT Press, 2006.

4. T. Gerstner, M. Holtz and R. Korn:
   Valuation of performance-dependent options in a Black-Scholes framework.
   In Numerical Methods for Finance, pp. 203-214. Chapman & Hall/CRC, 2007